Análisis de redes · 4 nodos · 3 mallas · 6 ramas

Circuito de 3 fuentes resuelto por matrices

Red con tres fuentes (E₁, E₂, E₃), siete resistencias y seis corrientes de rama (I₁…I₆). Se plantean 3 ecuaciones de nodo (en b, c, d) y 3 ecuaciones de malla, formando un sistema 6×6 que se resuelve por eliminación de Gauss-Jordan. Pulsa el botón para cambiar los valores.

El circuito que vamos a resolver

Circuito completo · 6 corrientes incógnita (I₁…I₆)

Fuente E (V) Resistencia (Ω) Corriente (A) Malla

Tenemos este circuito: tres fuentes, siete resistencias y seis corrientes desconocidas (I₁…I₆). A primera vista parece complicado, pero lo iremos resolviendo paso a paso. Antes de calcular nada, repasemos las leyes que vamos a aplicar 👇

Antes de empezar · ley de Ohm y las dos leyes de Kirchhoff

Ley de Ohm — la base de todo

Relaciona las tres magnitudes de cada resistencia: el voltaje es la corriente por la resistencia. Tapa la magnitud que buscas en el triángulo y obtienes su fórmula.

V = I · Rhaz clic en V, I o R en el triángulo

▲ pulsa cada letra para despejarla

  1. V = I · R → caída de tensión en una resistencia.
  2. I = V / R → corriente que la atraviesa.
  3. R = V / I → su resistencia.
  4. En cada malla, la caída de cada resistencia se escribe con V = I·R (así se arma la 2ª ley).

Ley de corrientes (nodos) — LCK

En cualquier nodo, la suma de las corrientes que entran es igual a la suma de las que salen (la carga no se acumula). En forma compacta: Σ Iₑ = 0.

Σ I = 0 · 1ª ley
entran = salen → I₁ = Ia + Ib ⟺ I₁ − Ia − Ib = 0
  1. Identifica los nodos: puntos donde se unen 3 o más conductores.
  2. Asigna un sentido supuesto (flecha) a la corriente de cada rama.
  3. En cada nodo plantea entran = salen.
  4. Si una corriente sale negativa, su sentido real es el contrario al supuesto.

Ley de voltajes (mallas) — LVK

Al recorrer una malla (lazo cerrado), la suma de las subidas y caídas de tensión es cero. Equivale a: la fuente = suma de las caídas en las resistencias (cada caída por ley de Ohm).

Σ V = 0 · 2ª ley
E = VR1 + VR2 + VR3  con  VR = I·R
  1. Identifica las mallas: los lazos cerrados o “ventanas” del circuito.
  2. Elige un sentido de recorrido (horario o antihorario): la flecha de malla.
  3. Dirige los voltajes: en cada resistencia el + va por donde entra la corriente y el − por donde sale (la caída se opone a la corriente). En la fuente, la placa larga es el +.
  4. Recorre y suma: las subidas (− → +) cuentan positivo y las caídas (+ → −) negativo; el total debe dar 0.

Pasos para resolver el circuito completo

  1. Dibuja y nombra los nodos (a, b, c, d…) y las ramas del circuito.
  2. Asigna un sentido supuesto a la corriente de cada rama (I₁, I₂, …).
  3. Marca la polaridad (+/−) de cada resistencia según el sentido de su corriente, y la de cada fuente según su símbolo.
  4. Aplica la ley de nodos en (n − 1) nodos del circuito.
  5. Aplica la ley de mallas en cada malla independiente, recorriéndola en el sentido elegido.
  6. Arma el sistema de ecuaciones y resuélvelo (aquí, por Gauss-Jordan).
  7. Interpreta los signos: un valor negativo indica que la corriente real circula al revés de la flecha supuesta.

Esquema del circuito

Fuente E (V) Resistencia (Ω) Corriente (A) Malla

Datos

E₁
–
E₂
–
E₃
–
R₁
–
R₂
–
R₃
–
R₄
–
R₅
–
R₆
–
R₇
–
Incógnitas
I₁ … I₆

Planteo del sistema

1ª ley · nodos: Σ I = 0 (entran − salen)

¿Y el nodo a? El circuito tiene 4 nodos (a, b, c, d), pero solo se usan n − 1 = 3 ecuaciones. La del nodo a se omite porque no aporta información nueva: es exactamente la suma de las de b, c y d (toda corriente que entra a un nodo sale por otro, así que la cuarta ecuación ya está contenida en las tres). Incluirla daría una ecuación redundante y el sistema no tendría solución única.

2ª ley · mallas: Σ V = 0 (Ohm: cada R·I es una caída)

Resolución del sistema 6×6

Paso 1 · del circuito al sistema de ecuaciones

Paso 2 · Matriz aumentada [ A | b ]

Columnas = coeficientes de I₁, I₂, I₃, I₄, I₅, I₆; última columna = términos independientes. Se busca llevar el bloque izquierdo a la matriz identidad mediante operaciones de fila.

Solución del sistema · corrientes I₁ … I₆

▸ Ver los pasos de la eliminación (Gauss-Jordan)

Voltaje en cada resistencia (ley de Ohm · V = I·R)

Ya con las corrientes resueltas, volvemos a la ley de Ohm para hallar la caída de tensión en cada resistencia: la corriente que la atraviesa es la de su rama, y V = I·R.

Comprobación de las dos leyes

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Ley de nodos · b
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Ley de nodos · c
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Ley de nodos · d
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Ley de mallas · M₁
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Ley de mallas · M₂
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Ley de mallas · M₃

6 incógnitas → 3 ecuaciones de nodo + 3 ecuaciones de malla → sistema 6×6 resuelto por Gauss-Jordan.